原课程Lessson29~Lesson30课,svd其实是正定的延伸,正定是一种特殊的svd;线性变换是矩阵的基础与来源
SVD奇异变换
线性变换
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定义
一个公式:T(cv + dw) = cT(v) + dT(w),其中c、d是常数,v、w是向量。
等同于2个公式:T(v+w) = T(v) + T(w); T(cv) = cT(v)
如此T(0) = 0
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线性变换与矩阵
理解一个线性变换最好的方式,是找到变换后面的矩阵。为此,要引入基向量与坐标。
T(v) = Av,因为:
A(v+w) = A(v)+A(w)
A(cv) = cA(v)
给定一个变换T,如何得到一个矩阵A能够代表它呢?
首先要选定2组基,如v: v: v1,v2...vn,是Rn中的基,w: w1,w2...wm。是Rm中的基。v是input,w是output。
T(vi) = a1iw1 + a2iw2...+amiwm
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示例1

T(v) = Av
在R2空间中,对于每一个input v=[x, y]T,A会将其x值保持不变,而y值取反。结合图像,针对x轴做了对称
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示例2
求导也是一种线性变换

这是一个3维空间向2维空间变换的例子,取输入的基为3维:v1 = 1, v2 = x, v2 = x2,输出的的基为2维:w1 = 1, w2 = x
由此得到
由此得到
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结论
对于每一个线性变换,都有一个A与之对应,使得T(v) = Av。
如果A是可逆的,则线性变换的逆变换 对应的矩阵就是A-1
两个变换的乘积变换: T1 : v <--> A1v ; T2 : w <--> A2w。则这个变换对应的矩阵是A2A1。这是矩阵乘积的来源。