本部分主要研究的是正定,课程包括Lesson25~Lesson28
包括:Symmetric matrices and positive definiteness、Complex matrices and fast Fourier transform、Positive definite matrices and minima、Similar matrices and Jordan form
对称矩阵与正定
对称矩阵的性质
A = AT
性质:
- the eigenvalues are real
- the eigenvector are perpendicular even orthonormal
由此,若A对称,则 A =Q Λ Q−1 = Q Λ QT
why real eigenvalues?
证明思路是从:AX = λX开始,一方面都取共轭,另一方面将原式乘以X的共轭,通过变换,得到λ = λ共轭,得证
Symmetric matrices with real entries have A =AT, real eigenvalues, and perpendicular eigenvectors.
If A has complex entries, then it will have real eigenvalues and perpendicular eigenvectors if and only if 
对阵矩阵的解释
A = Q Λ QT
Q = [q1, q2... qn]
展开后得到A = λ1q1q1T + λ2q2q2T +...+ λnqnqnT
由于q正交,所以q1q1T其实是投影矩阵,如此得到,每一个对称阵,其实都是投影的组合。
关于特征值的符号
number of positive pivots = number of positive eigenvalues.
主元的符号与特征值的符号相同
正定的定义
A positive definite matrix is a symmetric matrix A for which all eigenvalues are positive.正定矩阵是所有特征值都是正数的对称矩阵。
=>
- 所有特征值都是正数
- 所有主元都是正数
- 所有的子行列式(11,22..n*n形成的行列式)都是正数
复数矩阵与FFT
复数矩阵的特性
对于复数向量,取转置运算要变成取共轭转置,或者交Hermite,简写H
傅里叶变换
FFT
FFT将傅里叶计算从n2 => nlogn

其中
,其作用是将奇数行拿到偶数行的前面

正定矩阵性质
-
最小值
对于正定,除了,特征值>0,主元>0,子行列式>0,还有一个XTAX > 0

如果二次方程一定 > 0,则A正定


由此得出,正定 => 有最小值

首先它是对阵的,Its determinant is positive when the matrix is positive definite

一个多维的向上的碗,而且全是正的
-
加法
if A,B 正定 => A+B正定
-
推论
ATA 一定正定, 这里A是m×n 且 rank(A) = n 的矩阵
应为其多项式:
相似矩阵与Jordan式
-
定义
对于A,B两个矩阵,若A = M-1BM,则A、B相似
-
性质
相似矩阵,拥有相同的特征值,相同数量的独立特征向量(一般不同)
-
重特征值问题
以λ1 = λ2 = 4 为例
可以分成两个famliy:
,这一族比较大
,这一族只有这一个矩阵,因为它与任何M相乘都会返回自身
-
Jordan matrix
简单的说,对于重特征值问题,它们需要有相同的Jordan blocks的形式.


其中
,这里,对角线上都是特征值,下方都是0,上方跟随一层1.

这样,不同的特征值情况可以认为是一种特殊的Jordan Matrix,它们的Jordan Block都是为1*1的特征值本身