本周清明回家，只完成2节的Matrix学习，Lesson21～Lesson22
为保持博客的完整性，下周的Matrix依旧会放到本篇博客中

第四周完成了Less23~Lesson24,继续在这里记录。

Eigenvalues and eigenvectors

• 定义

  AX = λX

  Matrix A acts by stretching the vector x, not changing its direction. so x is an eigenvector of A.
  

• 计算

  det(A-λI) = 0

• 复数eigenvalues

  对称阵的特征值为实数，反对称阵的特征值为纯虚数
  Symmetric matrices have real eigenvalues
  For antisymmetric matrices like Q, for which AT = −A, all eigenvalues are imaginary (λ=bi).

• 重复的eigenvalues

  非重复的eigenvalues用于相互独立的eigenvector，重复的eigenvalues可能用于独立的，也可能不独立的eigenvector

  

Diagonalization and powers of A

• 对角化：Diagonalization

  
  

• A的幂运算，Powers of A
  

  当A的K次幂 -> 0时，说明A的特征向量绝对值<1

• 差分方程
  

  
  在这里，它将U0用A的特征向量来表示的，有点当成一组基在使用

• 菲比队列

  
  
  

微分方程与exp(At)

本节可以分成3部分，解一个微分方程，稳态分析，exp(At)

• 解微分方程
  
  初始状态u1=1 u2=0.
  其中A为
  对A求解特征值与特征向量得
  λ1=0，λ2=-3
  对应的特征向量为
  
  

  微分方程对应的一般解为：
  
  可以看出这个一般解其实是一个线性组合，这里可以有一个证明，原因是在所有微分中，指数函数是唯一微分不变的。
  

  将特征值、特征向量、初始值带入一般解，求解出c1、c2，以此得到u(t)
  

  以此解完了整个微分方程，同时也引出了稳态分析

• 稳态分析
  可以对u(t)，尽心分析，当t趋于无穷.
  

  由此得到微分方程的稳态条件
  

• 推广
  
  这里的推广，首先是将写成了矩阵方式即u=Sv，这里S是A的特征向量组成的矩阵，v是变量；然后将次等式带入微分方程，求解v(t).然后将v(t)代入等式，得到u(t)，这里u(t)多了一个S逆
  这样引出了本节最后一部分exp(At)

• exp(At)
  

  

  

• 二阶微分方程
  这里对二阶微分方程做了引申
  
  与函数相同，将2阶换成2个一阶
  

马尔科夫矩阵与傅里叶级数

• 马尔科夫矩阵
  马尔科夫矩阵是这样一类矩阵：1. 矩阵每个元素都是正数；2. 矩阵每列的和为

  

  它有两个属性

  1. λ=1是一个特征值，证明可以det(A-λI) = 0
  2. 其他的特征值都小于1

  上一节主要研究是是指数矩阵，这一节其实主要研究的是幂矩阵
  
  

• 例子
  

  λ1=1， λ2=0.7

  对应特征向量
  
  

  

• Projections with orthonormal basis
  这个是之前章的一个复习，正交化的矩阵的一个好处是，做投影时只需与正交矩阵相乘即可。
  
  
  

• 傅里叶级数
  

  对于向量：在R空间中
  对于函数：
  乘后加操作变成乘后积分操作，因为是周期函数，所以只积分周期即可。
  
  
  这样就解出了a1，以此可以解出an。