数系

起因:由激活函数所引发的对数系的探索

  • 激活函数

    先是看到了激活函数:

    $f(x) = \frac{1}{1+e{-x}} = \frac{ex}{1+e^x}$

  • 值域在[-1,1]之间对称的函数

    然后想去构造一个新的函数

    特点:$+\infty$趋向1,$-\infty$趋向-1,0处为0,并且对称。

    $f(x) = \frac{ex-1}{ex+1}$

    试过用其他基础函数,都办法实现,首先定义域得相同,难处在于两个极限处要变号。

  • 基本函数

    通过实验,发现幂函数系没有发现满足要求的形式。因为在无穷处要想趋向与1,只有除法可以,这样在正负无穷都是一样的。
    在上述函数的构造过程中,也思考过作为基础函数的三角函数。但三角函数是一种周期函数,此处更不能用。

    理解三角函数与圆离不开关系,这样自然而然的想起了复指数函数。

  • 复指数函数

    欧拉公式:
    $e^
    = cosx + isinx$

    欧拉公式的证明很有趣,既可以通过微分的方法,又可以通过积分的方法来证明。
    这又引起了对复数的兴趣,要说复数,我们先从数系入手。

数系

人类了解数的过程,真是很艰难的过程,远远不是数学课本上的,实数、虚数、有理数、无理数、整数、分数等几个概念那么简单。

以下内容摘自:从计数法到复数域

自然数:

自然数系是一个离散的、而不是稠密的数系,因此,作为量的表征,它只能限于去表示一个单位量的整数倍,而无法表示它的部分。同时,作为运算的手段,在自然数系中只能施行加法和乘法,而不能自由地施行它们的逆运算。这些缺陷,由于分数和负数的出现而得以弥补。

分数与负数:

分数都是有理数,非整除的都是无限循环小数。分数系是一个稠密的数系,它对于加、乘、除三种运算是封闭的。为了使得减法运算在数系内也同行无阻,负数的出现就是必然的了。

无理数:

有理数系的缺陷:一条直线上的有理数尽管是“稠密”,但是它却漏出了许多“孔隙”,而且这种“孔隙”多的“不可胜数”。这样。人们对微积分基础的关注,使得实数域的连续性问题再次突显出来。因为,微积分是建立在极限运算基础上的变量数学,而极限运算,需要一个封闭的数域。无理数正是实数域连续性的关键。

无理数是什么?变量数学独立建造完备数域的历史任务,终于在19世纪后半叶,由维尔斯特拉斯(Weierstrass,1815- 1897)、戴德金(R.Dedekind1831- 1916、康托(G.Cantor,1845- 1918)等人加以完成了。1872年,实数的三大派理论:戴德金“分割”理论;康托的“基本序列”理论,以及维尔斯特拉斯的“有界单调序列”理论,同时在德国出现了。由“戴德金分割”定义的实数,是完全不依赖于空间与时间直观的人类智慧的创造物。

复数:

1545年,此时的欧洲人尚未完全理解负数、无理数,然而他们智力又面临一个新的“怪物”的挑战。例如卡丹在所著《重要的艺术》(1545)中提出一个问题:把10分成两部分,使其乘积为40。这需要解方程x (10-x) = 40,他求得的根是$5+\sqrt{-15}$和$5-\sqrt{-15}$. 对复数的模糊认识,莱布尼兹(Leibniz,1646- 1716)的说法最有代表性:“圣灵在分析的奇观中找到了超凡的显示,这就是那个理想世界的端兆,那个介于存在与不存在之间的两栖物,那个我们称之为虚的—1的平方根。”。在使人们接受复数方面,高斯(1777-1855)的工作更为有效。他不仅将 a+ bi 表示为复平面上的一点 ( a, b),而且阐述了复数的几何加法和乘法。

在澄清复数概念的工作中,爱尔兰数学家哈米尔顿(Hamilton,1805 – 1865) 是非常重要的。哈米尔顿所关心的是算术的逻辑,并不满足于几何直观。他指出:复数a+ bi 不是 2 + 3意义上的一个真正的和,加号的使用是历史的偶然,而 bi 不能加到a 上去。复数a+ bi 只不过是实数的有序数对(a,b),并给出了有序数对的四则运算,同时,这些运算满足结合律、交换率和分配率。在这样的观点下,不仅复数被逻辑地建立在实数的基础上,而且至今还有点神秘的 也完全消除了。

数、运算、函数

函数是一种自变与因变关系,是一种因果、变化思维
基础运算(+-×/乘法与开方)都是一种增减逻辑
微积分是一种基于函数(变量)的极限逻辑

  • 数系的扩展与运算:

    如小数与分数的出现与四则运算的完备相关;
    无理数的出现起初与乘方、开方相关,后又与微积分相关;
    复数的出现也与开方相关。

  • 运算都有与之对应的逆运算

    乘法对除法
    乘方对开方
    积分对微分

  • 运算的律

    结合律、交换律、分配率。
    乘法结合律:(a×b)×c=a×(b×c)
    乘法交换律:a×b=b×a
    乘法分配律:(a+b)×c=a×c+b×c

  • 初等运算都有与之对应的函数

    基础运算:
    乘方对应的(负)幂函数与指数函数
    开方对应的对数函数

    微积分:
    多数的基础函数都在自己的域内
    如幂函数、指数函数、三角函数。
    但对数函数与负幂函数是例外;
    三角函数也通过欧拉公式与复指数函数相关了;

  • 函数

    初等函数:
    幂、指、对、三角、反三角

# 数学 

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