微积分-级数

本文是微积分复习的第三篇,教材使用《普林斯顿微积分读本》,涵盖第22章-第26章的内容。

  • 函数与微分
  • 积分
  • 级数 <=
  • 其他

级数的进入是从数列开始的,首先是数列的收敛性,然后是级数的收敛性,然后过度到泰勒级数,最后是对泰勒级数的应用(估值问题)。
级数是积分概念在离散数列的延伸,正向理解,是对离散数据的求和,反向理解,是对函数的分解。就分解而言,在工程领域得到了充分的应用。

级数的收敛性

数列收敛性

谈到收敛性,就离不开极限,而数列从函数那里继承了很多极限的性质:

  • 数列继承了函数的极限性质
  • 三明治定理
  • 连续函数保持极限,lim g(x) -> L 则lim f(g(x)) -> f(L)

级数收敛性简介

级数就是和,就是将数列an的所有项都加起来;
级数对等的是积分,无穷级数的收敛性对等反常积分对无限的积分,这样对反常积分收敛性的4种判别方法,就可以应用到级数上,另外级数也有几种独有的级数。

反常积分的方法

  • 第n项判别法
    第n项判别法
    注意:第n项判别法不能用于级数收敛性的判别,即lim an = 0未必收敛。

  • 极限比较判别法
    /upload/2021/09/极限比较判别法-a257d0f4cd934f81b84530ab3f753087.png

  • p判别法
    /upload/2021/09/p值判断法-07e068cc6d5f451c8a3be75d0dfe9990.png

  • 绝对收敛判别法
    /upload/2021/09/绝对收敛判别法-1c329fead3e24af48bb5e30a694bc24b.png

特有的方法

以上是从反常积分继承来的判别法,以下是级数特有的判别法,包括:比式判别法、根式判别法、积分判别法和交错级数判别法
比式判别法与根式判别法不之间判断源数列,而是构建一个新的数列,通过判断新数列的收敛性来判断级数的收敛性

  • 比式判别法

    构建一个新的数列bn,定义其为数列相邻两项之的绝对值, 若bn收敛于一个小于1的数,则原级数收敛;大于1的数,则原级数发散;等于1,则不应该用比式判别法。

/upload/2021/09/比式判别法-6b3eac01b1f440ca834918b615381c2a.png

  • 根式判别法

根式判别式构建的新数列为第n项绝对值的n次方根,若bn收敛于一个小于1的数,则原级数收敛;大于1的数,则原级数发散;等于1,则不应该用根式判别法。

/upload/2021/09/根式判别法-a8b45076fca14ced88884cf2a240cc27.png

  • 积分判别法

/upload/2021/09/积分判别法-27b96889c6624642a9f230632e19c76c.png

若函数的f(x)的积分/upload/2021/09/积分判别法-2-05ffa0982cdb4977a1300829d6c0cbea.png收敛,则对应级数也收敛

  • 交错级数判别法

    若级数是交错的,且各项的绝对值递减趋于0,则级数收敛
    这里引出一个条件收敛的概念,若一个级数收敛二其绝对值发散,就称为条件收敛
    示例: /upload/2021/09/交错级数-e611ce5fdc85437badd86497da7aaf9c.png

使用总结

/upload/2021/09/判断法使用总结-382cbc5687374f17a222870d9d995968.png

特有方法的使用优先级高于继承方法的优先级

泰勒级数与幂级数

泰勒定理

/upload/2021/09/泰勒近似定理-496dafebb59d49c5a47f9b956eeb6898.png

/upload/2021/09/泰勒定理-e1b44799378e4cc2806fc5b45e9a2fa6.png

若想证明一个函数在某些x处等于它的泰勒级数,需要证明当N → ∞ 时 RN(x) → 0.
/upload/2021/09/一个极限-c75f32ae58714949a276beda86e77334.png 对所有x都成立。

幂级数与泰勒级数

幂级数是以a0+a1x + a2x2 + a3x3 + a4x4 + ...
也可以写成![幂级数一般形式.png])
在x=a处的幂级数:/upload/2021/09/幂级数形式-7715b7618b734063abc97ce6f077a96d.png

从这个形式处,可以看出泰勒级数是一种特殊的幂级数: /upload/2021/09/幂级数与泰勒级数-6efbd741d93e4a649e69c84768f90c09.png

这里有一个麦克劳林级数,它是泰勒级数的在x=0处的特例:/upload/2021/09/麦克劳林级数-28eb78db90e24e52914aca68b2ced684.png

求解估值问题

示例1

用二阶泰勒多项式估算e1/3,并估算误差

nf(n)(x)f(n)(0)
0ex1
1ex1
2ex1
3ex1

/upload/2021/09/估值示例1-1-719edbda9b2d45a8aeb9bb7b1a775340.png
/upload/2021/09/估值示例1-2-dc769022c73e43a2942dddc03ee278c9.png
/upload/2021/09/估值示例1-3-b8ac504e075e42be9d3bdf7b4a1b06ad.png

/upload/2021/09/估值示例1-4-686d4dc70471407d9648496075996020.png
/upload/2021/09/估值示例1-5-7a99667a183d43c487c1cfcb27070c7d.png

示例2

估算sqart(27),误差不大于1/250

/upload/2021/09/估值示例2-1-c1178509de214dcca1b50e06f3426af8.png
/upload/2021/09/估值示例2-2-c42f2b13e273426f8b682c08836f8147.png
求得N = 1即可。P1(27) = 5 + 1/10 *(27-25) = 26/5

示例3

用三阶泰勒级数估算 cos(π/3 − 0.01) 的值 ,
/upload/2021/09/估值示例3-1-69b90552e83f4afaad08268bf4d921f5.png
/upload/2021/09/估值示例3-2-f313c870a7cd43d3be2e28fbb499f110.png
求得N=3
/upload/2021/09/估值示例3-3-a130d8481cf44d41bbcbedb818d460b5.png

其他问题

幂级数收敛半径与收敛区间

幂级数的收敛性判断,大多数时间使用比值判别法,有时可以使用根式判别法。
/upload/2021/09/幂级数收敛半径-dea2374b89674888a4a58f2f0a419736.png
/upload/2021/09/幂级数收敛半径-1-439be578e7b34124b5d5c80be42151ec.png
/upload/2021/09/幂级数收敛半径-2-e1e1c937e1d24ca198349ddc8f0183b5.png
当|x|< 1 时绝对收敛,当|x| > 1时绝对发散。
再考虑 x = 1 与 x = -1情况:
当x = 1 时/upload/2021/09/幂级数收敛半径-3-2f513f2d7ae14412b6ecd1247e469f56.png它发散
当x = -1时 /upload/2021/09/幂级数收敛半径-4-61bf3c4ce91744d9ac19960299ab7991.png条件收敛

利用现有泰勒级数求其他泰勒级数

/upload/2021/09/麦克劳林级数1-b30791ba10154074bcc73e8bfd80b413.png
/upload/2021/09/麦克劳林级数2-5f6074e6bd4c4927afd3811b6e674dee.png

可以通过换元、求导、求积分的方式求其他级数

  • 换元
    /upload/2021/09/麦克劳林级数-换元-82896a7cbdd84eb7bd875e31eed97c67.png

    /upload/2021/09/麦克劳林级数-换元2-340793481eb04c06aab75bb903bbe40c.png
    /upload/2021/09/麦克劳林级数-换元2-2-938a555c2c9b41619c778abb2c208317.png

  • 求导
    /upload/2021/09/麦克劳林级数-求导-eb43a38e44af4583b156844c033e1c41.png

  • 求积分
    /upload/2021/09/麦克劳林级数-求积分-c3c31b9886634f06a72c6e004664b2ee.png

利用麦克劳林求极限

利用麦克劳林级数求极限时,将所有的函数,换算成多项式,然后进行合并求解即可
/upload/2021/09/泰勒级数求极限-b4eaf8f17b6444fe88b954988a4e8d22.png
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/upload/2021/09/泰勒级数求极限-3-218b0a4fb33f4effa87519a16bc05e7b.png
/upload/2021/09/泰勒级数求极限-4-9769fb9feb614013a96e67e4bb86bb93.png
/upload/2021/09/泰勒级数求极限-5-0ee78f3ab5c44c948b4be7e8cd0d2237.png

# 数学 

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