本文是微积分复习的第三篇,教材使用《普林斯顿微积分读本》,涵盖第22章-第26章的内容。
级数的进入是从数列开始的,首先是数列的收敛性,然后是级数的收敛性,然后过度到泰勒级数,最后是对泰勒级数的应用(估值问题)。
级数是积分概念在离散数列的延伸,正向理解,是对离散数据的求和,反向理解,是对函数的分解。就分解而言,在工程领域得到了充分的应用。
级数的收敛性
数列收敛性
谈到收敛性,就离不开极限,而数列从函数那里继承了很多极限的性质:
- 数列继承了函数的极限性质
- 三明治定理
- 连续函数保持极限,lim g(x) -> L 则lim f(g(x)) -> f(L)
级数收敛性简介
级数就是和,就是将数列an的所有项都加起来;
级数对等的是积分,无穷级数的收敛性对等反常积分对无限的积分,这样对反常积分收敛性的4种判别方法,就可以应用到级数上,另外级数也有几种独有的级数。
反常积分的方法
特有的方法
以上是从反常积分继承来的判别法,以下是级数特有的判别法,包括:比式判别法、根式判别法、积分判别法和交错级数判别法
比式判别法与根式判别法不之间判断源数列,而是构建一个新的数列,通过判断新数列的收敛性来判断级数的收敛性

根式判别式构建的新数列为第n项绝对值的n次方根,若bn收敛于一个小于1的数,则原级数收敛;大于1的数,则原级数发散;等于1,则不应该用根式判别法。


若函数的f(x)的积分
收敛,则对应级数也收敛
使用总结

特有方法的使用优先级高于继承方法的优先级
泰勒级数与幂级数
泰勒定理


若想证明一个函数在某些x处等于它的泰勒级数,需要证明当N → ∞ 时 RN(x) → 0.
对所有x都成立。
幂级数与泰勒级数
幂级数是以a0+a1x + a2x2 + a3x3 + a4x4 + ...
也可以写成![幂级数一般形式.png])
在x=a处的幂级数:
从这个形式处,可以看出泰勒级数是一种特殊的幂级数: 
这里有一个麦克劳林级数,它是泰勒级数的在x=0处的特例:
求解估值问题
示例1
用二阶泰勒多项式估算e1/3,并估算误差
n | f(n)(x) | f(n)(0) |
0 | ex | 1 |
1 | ex | 1 |
2 | ex | 1 |
3 | ex | 1 |





示例2
估算sqart(27),误差不大于1/250


求得N = 1即可。P1(27) = 5 + 1/10 *(27-25) = 26/5
示例3
用三阶泰勒级数估算 cos(π/3 − 0.01) 的值 ,


求得N=3

其他问题
幂级数收敛半径与收敛区间
幂级数的收敛性判断,大多数时间使用比值判别法,有时可以使用根式判别法。



当|x|< 1 时绝对收敛,当|x| > 1时绝对发散。
再考虑 x = 1 与 x = -1情况:
当x = 1 时
它发散
当x = -1时
条件收敛
利用现有泰勒级数求其他泰勒级数


可以通过换元、求导、求积分的方式求其他级数
利用麦克劳林求极限
利用麦克劳林级数求极限时,将所有的函数,换算成多项式,然后进行合并求解即可




