本文是微积分复习的第三篇，教材使用《普林斯顿微积分读本》，涵盖第22章-第26章的内容。

• 函数与微分
• 积分
• 级数 <=
• 其他

级数的进入是从数列开始的，首先是数列的收敛性，然后是级数的收敛性，然后过度到泰勒级数，最后是对泰勒级数的应用（估值问题）。
级数是积分概念在离散数列的延伸，正向理解，是对离散数据的求和，反向理解，是对函数的分解。就分解而言，在工程领域得到了充分的应用。

级数的收敛性

数列收敛性

谈到收敛性，就离不开极限，而数列从函数那里继承了很多极限的性质：

• 数列继承了函数的极限性质
• 三明治定理
• 连续函数保持极限，lim g(x) -> L 则lim f(g(x)) -> f(L)

级数收敛性简介

级数就是和，就是将数列a_n的所有项都加起来;
级数对等的是积分，无穷级数的收敛性对等反常积分对无限的积分，这样对反常积分收敛性的4种判别方法，就可以应用到级数上，另外级数也有几种独有的级数。

反常积分的方法

• 第n项判别法
  
  注意：第n项判别法不能用于级数收敛性的判别，即lim a_n = 0未必收敛。

• 极限比较判别法
  

• p判别法
  

• 绝对收敛判别法
  

特有的方法

以上是从反常积分继承来的判别法，以下是级数特有的判别法，包括：比式判别法、根式判别法、积分判别法和交错级数判别法
比式判别法与根式判别法不之间判断源数列，而是构建一个新的数列，通过判断新数列的收敛性来判断级数的收敛性

• 比式判别法

  构建一个新的数列b_n，定义其为数列相邻两项之的绝对值, 若b_n收敛于一个小于1的数，则原级数收敛;大于1的数，则原级数发散;等于1，则不应该用比式判别法。

• 根式判别法

根式判别式构建的新数列为第n项绝对值的n次方根，若b_n收敛于一个小于1的数，则原级数收敛;大于1的数，则原级数发散;等于1，则不应该用根式判别法。

• 积分判别法

若函数的f(x)的积分收敛，则对应级数也收敛

• 交错级数判别法

  若级数是交错的，且各项的绝对值递减趋于0,则级数收敛
  这里引出一个条件收敛的概念，若一个级数收敛二其绝对值发散，就称为条件收敛
  示例：

使用总结

特有方法的使用优先级高于继承方法的优先级

泰勒级数与幂级数

泰勒定理

若想证明一个函数在某些x处等于它的泰勒级数，需要证明当N → ∞ 时 R_N(x) → 0.
对所有x都成立。

幂级数与泰勒级数

幂级数是以a₀+a₁x + a₂x² + a₃x³ + a₄x⁴ + ...
也可以写成：
在x=a处的幂级数：

从这个形式处，可以看出泰勒级数是一种特殊的幂级数:

这里有一个麦克劳林级数，它是泰勒级数的在x=0处的特例：

求解估值问题

示例1

用二阶泰勒多项式估算e^1/3，并估算误差

示例2

估算sqart(27)，误差不大于1/250

求得N = 1即可。P₁(27) = 5 + 1/10 *(27-25) = 26/5

示例3

用三阶泰勒级数估算 cos(π/3 − 0.01) 的值 ,


求得N=3

其他问题

幂级数收敛半径与收敛区间

幂级数的收敛性判断，大多数时间使用比值判别法，有时可以使用根式判别法。



当|x|< 1 时绝对收敛，当|x| > 1时绝对发散。
再考虑 x = 1 与 x = -1情况：
当x = 1 时它发散
当x = -1时 条件收敛

利用现有泰勒级数求其他泰勒级数

可以通过换元、求导、求积分的方式求其他级数

• 换元
  

  
  

• 求导
  

• 求积分
  

利用麦克劳林求极限

利用麦克劳林级数求极限时，将所有的函数，换算成多项式，然后进行合并求解即可