本文是微积分复习的第二篇,教材使用《普林斯顿微积分读本》,涵盖第15章-第21章的内容。
积分定义
简介
积分是从级数求和引入的,比如第一例子:

这种引入方式即暗示积分的求(有向)面积,求位移做铺垫,也为后边级数做准备。
伸缩级数
比较有趣的一个例子:

书中用伸缩级数的方法,推导出了平方和级数的和公式:

将等式左侧整理后得到


有向面积
这一段主要从直观上看级数到积分的一个过度


定积分
定积分定义(黎曼和)
定积分是一种定义,是一种求某段[a,b]曲线y=f(x),与X轴形成闭合图形的面积。可以看出,定积分面向的是一个具体的问题,然后再次抽象之后才出现了不定积分。
这个图形面积的求法,就需要借鉴上一节有向面积。将上一节的公式区间长度趋向于0,就是这个图像的面积,也就是积分。

上一节的求和部分,也别称作黎曼和。
积分的定义也离不开极限。这里发散一下,这个叫黎曼和,也就与黎曼有关,而黎曼是19世纪人物,微积分是17世纪创立的,也就是这个定义,是很久之后才确定的。
定积分性质
有了定义,就有了几个简单的性质:





对这几个性质只说一点:在矩阵中,我们说线性变换符合两个公式:
T(v+w) = T(v) + T(w); T(cv) = cT(v)。如果把f(x)看作v,g(x)看作w,那积分就可以看作成一种线性变换了。
估算积分
积分既然可以看作成一种面积,面积就有大小之分

这样就看出,积分是在[m(b-a), M(b-a)]之间
积分中值定理
有了最大值与最小值,也就想到平均值。


f(c)就可以看作是f(x)在区间[a,b]上的平均值。
微积分基本定理
注意,这里说的是微积分基本定理,将积分与微分联合到一起的定理。主要有2个基本定理,一个阐述积分与微分之间的关系,从这里引出了不定积分,另一是积分函数与被积函数的关系,从而引出了不定积分的计算方法。
第一基本定理

这里看出,微积分基本定理是与定积分相关的定理,也就是包含积分的上下限,以后的很多文章都是在上下限中做的。
其证明源自:


对比不定积分与导数:

第二基本定理

微积分第二基本定理的证明书中没有画图,画图的话会很简单,就是阴影部分面积的减法运算。
证明:

函数到a部分的面积是F(a),函数到b部分的面积是F(b),那[a,b]之间的面积自然就是F(b)-F(a)了。
积分上下限是函数
积分上限是函数:
这句话说全了是这样:求积分式的导数,如果积分上限是函数。解题时,其实是将上限设成另外一个变量,然后再隐函数求导。如:


这里需要注意,dy/du中积出的函数变量是u,后边要用x替换掉。
积分下限是函数与上限是函数相同,做一个相反数即可转换成,这里不做介绍

微积分基本方法1
换元法
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示例1

这里设t = x3,将t导入得
(1/3)sin(x3) + C
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示例2

这里设t = x3 + 7x - 9
从示例2看出的公式是这样:

-
示例3

-
示例4

这里的t = ex
-
示例5

这个与上边的例子有很大不同,这个需要一次函数的根式形式,需要将t设置成这个根式。

-
理论解释

这个解释其实只解释了前4个示例,第5个示例并不在此之列
分部积分法
部分积分法
部分积分法是处理,有理函数(两个多项式函数的比值)的方法. 通过一些代数运算把它分解成几个更简单的有理函数和的形式, 然后再对真写简单的有理函数求积分.
微积分基本方法2
三角恒等式的积分
通过几个三角恒等式进行变化,将不易求的积分转变成易求的积分.恒等式包括:
- 倍角公式:

- 毕达哥拉斯恒等式:

- 和差公式:

这一部分的示例太多了,而且没有统一的解法,只做几个示例:
三角函数的幂积分
三角函数的幂积分,很繁琐.不同的三角函数,技巧不相同.
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sinx或者cosx
如果是奇数次幂,则可以将一个奇数取出,转变积分
如果是偶数次幂,则使用倍角公式,将次幂转变成倍角
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tan(x)
1次幂的tan(x),转换成sinx / cosx 的形式来计算
偶次幂的tan(x)求导很有趣,使用tan(x)与secx之间的关系,能不断的降幂,每次将2幂来完成
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sec(x)
1次幂的secx求导很有技巧,(sec(x) + tan(x))/(sex(x) + tan(x))相乘之后,一下便可求出
偶次幂的sec(x),与偶次幂的tan(x)求法类似,但更复杂一些,不管的降幂,直到求出.
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其他
cot(x) 同 tan(x), csc(x) 同 sec(x)
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示例1

将cos(x),转变成sin(x),然后将单独的cosx 放进积分中即可.
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示例2

将等式右侧展看,多变成多项式形式,偶次幂继续升角,奇次幂利用换元法求解
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示例3

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示例4

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示例5

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示例6

sec(x)的二次幂积分为tan(x)+c
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示例7



这里采用了分部积分法,并且只用来降成4次幂. 4次幂的过程仍然要继续采用此方法.
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总结
tan(x)与sex(x)的偶次幂,都是采用了类似数学归纳法的方式,不断降维来求解
三角换元法
三角换元法不再求解的是三角函数,而是利用三角函数的特点来求解根式的积分.

进行换元之后,脱离根式,然后进行求解.
反常积分
反常积分要么在函数定义域内存在垂直渐进线,要么区间趋向无穷的定积分.这两种积分都涉及用极限来求积分的基本方法.在这种基本方法之上,演化出了常用的3中通用判别方法:比较判别法,极限比较判别法,p判别法,一种不太通用的判别法:绝对值判别法.这些判别法用于判断反常积分是否存在,或者称收敛.
原文中以2章的在讲述反常积分,其中,一章讲理论,一章讲示例.这里仅用一章将理论,不在积分花费更多的时间了.
2个定义

这是在下界的定义,在上界的定义同理

区间无穷的定义
比较判别法
比较判别法可以从积分的面积定义上找到源头.


如图,如果g(x)在区间[a,b]上收敛,则f(x)也一定收敛. 反命题不成立
逆反命题是如果f(x)在区间[a,b]上发散,则g(x)也一定发散.
极限比较判别法

这个有同样的意义应该理解为:有相同的收敛性. 同收敛,共发散.
如: 在x -> 0时, tan(x) ~ x, sin(x) ~ x, ex-1 ~x
p判别法
p判别法,应该是最接近运用的判别法


记忆的方法是,与y=x相比, 更接近x轴霍y轴的收敛,反之发散
绝对值判别法

其他的判别法即可判别发散,也可以判别收敛.绝对值判别法,只能用来判别收敛.
在应用上,比较适合使用在sin(x)的判别上,即sin(x) <= |sin(x)| <= 1