微积分-积分

本文是微积分复习的第二篇,教材使用《普林斯顿微积分读本》,涵盖第15章-第21章的内容。

  • 函数与微分
  • 积分 <=
  • 级数
  • 其他

积分定义

简介

积分是从级数求和引入的,比如第一例子:
/upload/2021/09/级数求和-83f06ec2d616431d9e85343f6b9a4202.png
这种引入方式即暗示积分的求(有向)面积,求位移做铺垫,也为后边级数做准备。

伸缩级数

比较有趣的一个例子:
/upload/2021/09/伸缩级数-7fa6c93f12194deca6fb719be4ecc960.png
书中用伸缩级数的方法,推导出了平方和级数的和公式:
/upload/2021/09/伸缩级数推动-1-e133c36c6f9a4fe88bb49a23eedd6146.png
将等式左侧整理后得到
/upload/2021/09/伸缩级数推动-2-1918ba06094f42d7bfbb57385ba950d9.png
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有向面积

这一段主要从直观上看级数到积分的一个过度
/upload/2021/09/有向面积-a02b85c1a71d46ba8fc5c03d2ad71e97.png
/upload/2021/09/有向面积-2-6e3a1503b3af49a7a9a0233a377011bb.png

定积分

定积分定义(黎曼和)

定积分是一种定义,是一种求某段[a,b]曲线y=f(x),与X轴形成闭合图形的面积。可以看出,定积分面向的是一个具体的问题,然后再次抽象之后才出现了不定积分。

这个图形面积的求法,就需要借鉴上一节有向面积。将上一节的公式区间长度趋向于0,就是这个图像的面积,也就是积分。
/upload/2021/09/黎曼和-37eddbe7df32410ab9d5a4495a00e722.png
上一节的求和部分,也别称作黎曼和。
积分的定义也离不开极限。这里发散一下,这个叫黎曼和,也就与黎曼有关,而黎曼是19世纪人物,微积分是17世纪创立的,也就是这个定义,是很久之后才确定的。

定积分性质

有了定义,就有了几个简单的性质:

  1. /upload/2021/09/定积分性质-1-2dd16f9c612b4e229bf56103ef194163.png
  2. /upload/2021/09/定积分性质-2-cccd71609b364551b3a95c2feb13a2af.png
  3. /upload/2021/09/定积分性质-3-7db3c4eb116c4e78b8fcb53afd0fe2c4.png
  4. /upload/2021/09/定积分性质-4-aafc1df5e5aa41deb96b361a504d2c62.png
  5. /upload/2021/09/定积分性质-5-7ed8805db02a4df68bb6a4f1beb42043.png

对这几个性质只说一点:在矩阵中,我们说线性变换符合两个公式:
T(v+w) = T(v) + T(w); T(cv) = cT(v)。如果把f(x)看作v,g(x)看作w,那积分就可以看作成一种线性变换了。

估算积分

积分既然可以看作成一种面积,面积就有大小之分
/upload/2021/09/积分的简单估算-6aea6959487c470b99721f21cd1fe0ca.png
这样就看出,积分是在[m(b-a), M(b-a)]之间

积分中值定理

有了最大值与最小值,也就想到平均值。
/upload/2021/09/积分中值定理-cbf8525503bb4a0993093f211b691c3c.png
/upload/2021/09/积分中值定理2-6ae17f5efc0b4e479e8885d51ccf4eca.png
f(c)就可以看作是f(x)在区间[a,b]上的平均值。

微积分基本定理

注意,这里说的是微积分基本定理,将积分与微分联合到一起的定理。主要有2个基本定理,一个阐述积分与微分之间的关系,从这里引出了不定积分,另一是积分函数与被积函数的关系,从而引出了不定积分的计算方法。

第一基本定理

/upload/2021/09/微积分第一基本定理-094ee72499e64a00a1384070bd68d044.png
这里看出,微积分基本定理是与定积分相关的定理,也就是包含积分的上下限,以后的很多文章都是在上下限中做的。

其证明源自:
/upload/2021/09/微积分第一定理的证明-f9af570b4b004410b93c7b9115d574d6.png
/upload/2021/09/微积分第一定理的证明2-6de98d975b4344ae95c7b2843c921e6a.png

对比不定积分与导数:
/upload/2021/09/不定积分-fb737708e5964214a2b8a43bcd6c6886.png

第二基本定理

/upload/2021/09/微积分第二基本定理-ab5461d5fb7b4b3784556352a80fd173.png
微积分第二基本定理的证明书中没有画图,画图的话会很简单,就是阴影部分面积的减法运算。

证明:
/upload/2021/09/微积分第二定理证明-9f602a107ae34390849fbad52fe76840.png
函数到a部分的面积是F(a),函数到b部分的面积是F(b),那[a,b]之间的面积自然就是F(b)-F(a)了。

积分上下限是函数

积分上限是函数:

这句话说全了是这样:求积分式的导数,如果积分上限是函数。解题时,其实是将上限设成另外一个变量,然后再隐函数求导。如:

/upload/2021/09/积分上限是函数-7061a668b04042afbfcc0e8793dc7cf7.png
/upload/2021/09/积分上限是函数2-afdd70f3d5444c9bbc5162dd627cbf79.png
这里需要注意,dy/du中积出的函数变量是u,后边要用x替换掉。

积分下限是函数与上限是函数相同,做一个相反数即可转换成,这里不做介绍

  • 积分与导数公式

/upload/2021/09/积分公式-6e20eff7965040828bb6b0c242ec0a0e.png

微积分基本方法1

换元法

  • 示例1

    /upload/2021/09/换元法示例1-1-04a1af9a1bf64180902ddd2fab22ac7d.png
    这里设t = x3,将t导入得
    (1/3)sin(x3) + C

  • 示例2
    /upload/2021/09/换元法示例2-1911f54cb58c4c8fbc7f235418f6fe09.png
    这里设t = x3 + 7x - 9
    从示例2看出的公式是这样:
    /upload/2021/09/换元法公式1-a90bc50879ba4e18bcc6d4f8a8c144a1.png

  • 示例3
    /upload/2021/09/换元法示例3-6f6135836910497385399feab08c6d57.png

  • 示例4
    /upload/2021/09/换元法示例4-5dc05226a01e4532a794f47bf410d299.png
    这里的t = ex

  • 示例5
    /upload/2021/09/换元法示例5-1-177561a4449b40fb890b0bf7d5e17547.png
    这个与上边的例子有很大不同,这个需要一次函数的根式形式,需要将t设置成这个根式。
    /upload/2021/09/换元法示例5-2-0d5ee65f563849a3b6dc2a0d39bddc26.png

  • 理论解释
    /upload/2021/09/换元法理论解释-551536c76f124e0193783600d4046718.png
    这个解释其实只解释了前4个示例,第5个示例并不在此之列

分部积分法

  • 公式
    /upload/2021/09/分部积分法公式-55eec7f81f6c4ee7afd7fa4575745658.png

    分部积分法跟贝叶斯公式有点相似

  • 示例1
    /upload/2021/09/分部积分法示例1-2cdeced2078a4576ab3fa33088a26f00.png

    多项式与指数函数

  • 示例2
    /upload/2021/09/分部积分法示例2-3ea446e6c27b4eea9adb4076dcb7c1f2.png
    然后以相同德办法处理等式右边第二项

    多项式与三角函数

  • 示例3
    /upload/2021/09/分部积分法示例3-609705090ba948d38c0b060f90f18f15.png
    利用三角函数两次求解后便会原值的特点

    三角函数与指数函数

  • 示例4
    以上三种都是两种基本初等函数的组合方式,ex > sin(x) > x 这种顺序
    以下这些则反之,可以认为它们比 x 还小

    /upload/2021/09/分部积分法示例4-1-f7108d6f19cb4e698accf04a1e3a2f47.png
    /upload/2021/09/分部积分法示例4-2-88dbf77ebae5478385d1a0d12aeac8c6.png

部分积分法

部分积分法是处理,有理函数(两个多项式函数的比值)的方法. 通过一些代数运算把它分解成几个更简单的有理函数和的形式, 然后再对真写简单的有理函数求积分.

  • 步骤

    1. 要确保分母的次幂大于分子的次幂,否则,通过除法方式,转换成此形式

    2. 对分母做因式分解
      对于二次函数,查看判别式,若大于0,则可以因式分解

    3. 分部
      分部是将因式分解之后的乘积形式,变成和形式的过程
      /upload/2021/09/分部积分法1-0b761348b58945f5a07405e49c860bb5.png
      /upload/2021/09/分部积分法2-1a5711514a4d4fac878dcac9bca2dceb.png
      这有些像基向量的样子,在每个基向量的常数倍.

    4. 计算常量的值

    5. 求解分母为线性项次幂的积分

    6. 对分母是二次函数的被积函数求积分

  • 示例1:
    /upload/2021/09/分部积分法3-bf5f8f5144bd450a818f5ef17440e485.png

  • 示例2:
    /upload/2021/09/部分积分法示例2-9212e11232d24dd59a38af8e01035060.png

  • 示例3:
    /upload/2021/09/部分积分法示例3-da55061b579446c797e19e99ecef4a72.png
    再次将进行分部,第一部分用换元法, 第二部分借用部分/upload/2021/09/积分公式-6e20eff7965040828bb6b0c242ec0a0e.png来计算
    /upload/2021/09/部分积分法示例3-2-c1e2aa0f9b1b4c398e9cd72b75fee907.png

微积分基本方法2

三角恒等式的积分

通过几个三角恒等式进行变化,将不易求的积分转变成易求的积分.恒等式包括:

  1. 倍角公式: /upload/2021/09/倍角公式-4243837982e145b9b145542e5bd09f2d.png
  2. 毕达哥拉斯恒等式: /upload/2021/09/毕达哥拉斯恒等式-57845295a7964e6693a8a8cdf44adec9.png
  3. 和差公式: /upload/2021/09/和差公式-60638009d646469aab6408627f4d7c44.png

这一部分的示例太多了,而且没有统一的解法,只做几个示例:

  • 示例1
    /upload/2021/09/三角恒等式示例1-1-96ecaa199b3742169fad1fd1e4923255.png
    给sec(x)上次幂,转换成2次进行
    /upload/2021/09/三角恒等式示例1-2-90347aee8e2a44ebbf271a7959a2d249.png
    /upload/2021/09/三角恒等式示例1-3-8a1bd16182e94fdf971876a5641eefbd.png

  • 示例2
    /upload/2021/09/三角恒等式示例2-b6221cead9154473858247f446f9791a.png

三角函数的幂积分

三角函数的幂积分,很繁琐.不同的三角函数,技巧不相同.

  • sinx或者cosx
    如果是奇数次幂,则可以将一个奇数取出,转变积分
    如果是偶数次幂,则使用倍角公式,将次幂转变成倍角

  • tan(x)
    1次幂的tan(x),转换成sinx / cosx 的形式来计算
    偶次幂的tan(x)求导很有趣,使用tan(x)与secx之间的关系,能不断的降幂,每次将2幂来完成

  • sec(x)
    1次幂的secx求导很有技巧,(sec(x) + tan(x))/(sex(x) + tan(x))相乘之后,一下便可求出
    偶次幂的sec(x),与偶次幂的tan(x)求法类似,但更复杂一些,不管的降幂,直到求出.

  • 其他
    cot(x) 同 tan(x), csc(x) 同 sec(x)

  • 示例1
    /upload/2021/09/三角函数幂积分示例1-c25e90753d044ac3a53f5fd432270122.png
    将cos(x),转变成sin(x),然后将单独的cosx 放进积分中即可.

  • 示例2
    /upload/2021/09/三角函数幂积分示例2-9219516b17c9415888a3e257b8c33ad9.png
    将等式右侧展看,多变成多项式形式,偶次幂继续升角,奇次幂利用换元法求解

  • 示例3
    /upload/2021/09/tanx的积分-6d7cd9c4cc3d42ffa60b053d21a35dcd.png

  • 示例4
    /upload/2021/09/tanx的2次幂积分-94b74847d48445d987d37edfcbe7b742.png

  • 示例5
    /upload/2021/09/tanx的4次幂积分-28a24060931649228d7ef1d29d967d64.png

  • 示例6
    /upload/2021/09/secx的积分-088a57a88cc64de5b834067cb381d1a0.png
    sec(x)的二次幂积分为tan(x)+c

  • 示例7
    /upload/2021/09/secx的6次幂积分1-c29930b7841d486ca53c86cbefa50fc2.png
    /upload/2021/09/secx的6次幂积分2-4b1e668eb053474d947ad595eddd73bc.png
    /upload/2021/09/secx的6次幂积分3-623fe866649b4e238e82cfce6059ffb8.png
    这里采用了分部积分法,并且只用来降成4次幂. 4次幂的过程仍然要继续采用此方法.

  • 总结

tan(x)与sex(x)的偶次幂,都是采用了类似数学归纳法的方式,不断降维来求解

三角换元法

三角换元法不再求解的是三角函数,而是利用三角函数的特点来求解根式的积分.

/upload/2021/09/三角换元法-daaf6e1eb76a4c84b9e4224d49320aed.png
进行换元之后,脱离根式,然后进行求解.

  • 示例1
    /upload/2021/09/三角换元法示例1-96132800806a489fbe4cef59bf6d7355.png
    用x = 3sin(θ)来进行换元
    三角/upload/2021/09/换元法示例2-1911f54cb58c4c8fbc7f235418f6fe09.png

  • 示例2
    三角/upload/2021/09/换元法示例3-6f6135836910497385399feab08c6d57.png
    /upload/2021/09/三角换元法示例3-1-fd1f85c56dc54196b8ba028cdb468285.png

反常积分

反常积分要么在函数定义域内存在垂直渐进线,要么区间趋向无穷的定积分.这两种积分都涉及用极限来求积分的基本方法.在这种基本方法之上,演化出了常用的3中通用判别方法:比较判别法,极限比较判别法,p判别法,一种不太通用的判别法:绝对值判别法.这些判别法用于判断反常积分是否存在,或者称收敛.
原文中以2章的在讲述反常积分,其中,一章讲理论,一章讲示例.这里仅用一章将理论,不在积分花费更多的时间了.

2个定义

/upload/2021/09/反常积分定义1-2d5cd1171e5e4e30a2d2e8a0fa7cb444.png
这是在下界的定义,在上界的定义同理

/upload/2021/09/反常积分定义2-d05a33a40b12470aaf9c97071d737a3a.png
区间无穷的定义

比较判别法

比较判别法可以从积分的面积定义上找到源头.

/upload/2021/09/比较判别法表达式-4ac3e346ff2140679a7147f6476f5a12.png
/upload/2021/09/比较判别法图像-d8c4ae84a4e84f25a403acfc8ba03bd7.png
如图,如果g(x)在区间[a,b]上收敛,则f(x)也一定收敛. 反命题不成立
逆反命题是如果f(x)在区间[a,b]上发散,则g(x)也一定发散.

极限比较判别法

/upload/2021/09/极限比较判别法-8f43392ecaa642f6aae688d5fbbca7f0.png
这个有同样的意义应该理解为:有相同的收敛性. 同收敛,共发散.

如: 在x -> 0时, tan(x) ~ x, sin(x) ~ x, ex-1 ~x

p判别法

p判别法,应该是最接近运用的判别法
/upload/2021/09/p判别法-cef2e80044a947dfaf14883cbc13686b.png
/upload/2021/09/p判别法图像-3456ce50c9e34942b36290f509d0881b.png

记忆的方法是,与y=x相比, 更接近x轴霍y轴的收敛,反之发散

绝对值判别法

/upload/2021/09/绝对收敛判别法-d663876f8ab74e589759aa28f8a2b42f.png
其他的判别法即可判别发散,也可以判别收敛.绝对值判别法,只能用来判别收敛.
在应用上,比较适合使用在sin(x)的判别上,即sin(x) <= |sin(x)| <= 1

# 数学 

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