微积分-其他

本文是微积分复习的最后一篇,教材使用《普林斯顿微积分读本》,涵盖第27章-第30章的内容。

  • 函数与微分
  • 积分
  • 级数
  • 其他 <=

本文的内容覆盖4章,包括:参数方程和极坐标、复数、体积弧长和表面积、微分方程。在函数中引入中间变量,过度到了参数方程,极坐标可以看作特殊的参数方程; 复数即可以用笛卡尔坐标系来表示,也可以用极坐标系来表示(欧拉公式),这两章的内容较近。体积、弧长与表面积一章是用微积分代入空间几何,可以看作一种应用,在3D中有很好的应用场景; 微分方程应用场景更宽广一些,这里介绍了3种微分方程的解法。

参数方程和极坐标

参数方程

  • 示例
    x和y都是另外一个变量t的函数,例如:
    x = 3cos(t) 和 y = 3sin(t)
    图像为:

  • 参数方程的导数

极坐标

  • 极坐标与笛卡尔坐标互换
    极坐标到笛卡尔坐标:x = rcos(θ) 和 y = rsin(θ)

    笛卡尔坐标到极坐标:r2 = x2 + y2 和 tan(θ) = y/x, x不等于0, 需要检查象限

  • 极坐标中的曲线
    极坐标中的函数 r=f(θ), θ在给定的范围内取值。一般先画出r=f(θ)在笛卡尔坐标系下的图像,然后再画在极坐标中的图像
    如 r=3sin(θ)


    其他示例:

  • 极坐标曲线的切线
    我们有r = f(θ), 并且有 x = rcos(θ)以及 y = rsin(θ)
    于是 x = f(θ)cos(θ) 和 y = f(θ)sin(θ)

    这样依据参数方式的切线方法 dy/dx = dy/dθ / dx/dθ

    示例: r = 1+2cos(θ),求穿过极坐标为(2, π/3)点的切线方程。

    x = rcos(θ) = (1+2cos(θ))cos(θ)
    y = rsin(θ) = (1+2cos(θ))sin(θ)
    求导:
    dy/dθ = -2sin2(θ) + (1+2cos(θ))cos(θ)
    dx/dθ = -sin(θ)(1+4cos(θ))

所以 dy/dx = dy/dθ / dx/dθ 将 θ = π/3代入得:
代入点x = 2cos(π/3)=1 和 y = 2 sin(π/3) = √3

  • 极坐标曲线的围成的面积

    这里有个很有趣的例子:r = 1+2cos(θ)围成的图形的面积。

    直接从[0,2π]进行积分求处的面积是图形的,问题在于θ 位于 2π/3 和 4π/3 之间时 , r 为负。由于面积公式包含r2无法辨别正负面积。(这与笛卡儿坐标下的情况大不相同,在笛卡儿坐标系中,y轴以下都为负)。
    正解是通过通过完全的面积减去2倍小圈中的面积.
    小圈中的面积为:

复数

基础

复数的加、减、乘、除法则比较简单,不进行介绍了,主要介绍复数的指数化ez
复指数也满足指数的法则 ezew = ez+w
证明的过程可以借鉴指数的泰勒级数:

欧拉公式


欧拉公式的证明可以通过泰勒级数展开的方式进行证明。
不管怎么看,它都太简单,太美丽了,完美的定义了复数的极坐标形式


复数的高次幂

为什么要使用极坐标形式呢?一个原因是,极坐标形式比较容易进行乘法跟取幂运算。
如:

解Zn = w



这里的 5θ = 5π/6 + 2πk

因为极坐标方式很容易求指数方式,所以,复数的次幂,都是转换成极坐标方式进行求解。

解 ez = w


z = x + iy

与复数的次幂类似,也转换成极坐标的方式来进行求解。

体积、弧长和表面积

本章是微积分在空间几何中的应用,主要是求体积与求表面积2大目标,弧长的求解是表面积求解的引子

旋转体的体积

  • 圆盘法
    圆盘法是黎曼和积分的扩展。
    求此图形绕x轴旋转得到图形的体积



    将体积看作面积的积分。

  • 壳法
    求此图形绕y轴旋转得到图形的体积


    壳法比圆盘法理解更新奇一点,这里想想此图形y轴方向截开,形成长方体的体积。

  • 总结

    • 若每个小条的dx边平行于旋转轴,运用圆盘法
    • 若咩个小条的dx边垂直于旋转轴,运用壳法

一般立方体体积

一般立方体的体积求法也是考虑体积是面积的积分。需要注意是面积的选择与积分区间的选择。
基本上,你的选择是:选择一个轴,所有的切片将垂直于这个轴.一旦选定了轴,后续的思路就清晰了:求得每个垂直于该轴的切片的横截面面积.不同的切片有不同的面积。

  • 选定一个轴
  • 求轴上点x处的横截面面积,称该面积为A(x)

这些面积的求解都依赖于原始的曲线方程,那如果生活中一个物体,要求其体积如何来做呢。大概可以考虑拟合出曲线来,然后用公式求解,更一般的也许就类似与草冲称象了。

弧长




这里有一点很有趣的变化,就是将(dx)2提到的根号外边。原文称这个变化需要进行证明但证明超越原书范围。
弧长公式也有参数形式:

  • 示例:

    t在[3,5]之间


根号内化简得到:36(t + 2)2

  • 物理中的应用
    定义在时间 t 秒处的蚂蚁位置是(x(t), y(t)). 那么,蚂蚁在时间 t 的速率是多少?

把速率进行积分,就是蚂蚁走过曲线的弧长

旋转体的表面积


表面积看作周长的积分


微分方程

微分方程就是包含导数的方程,它对于描述现实世界中量的变化非常有用,比如了解种群增长快慢,或者还清贷款等,都可以有微分方程来建模。

可分离变量的一阶微分方程

可分离变量的一阶微分方程指的是所有关于y的部分(包括dy)放到一边,所有关于x的部分(包括dx)放到另外一边。
这种方程比较好求解,只需要两边求积分即可,这里只介绍一个简单的示例:



一阶线性微分方程

  • 定义:
    一阶线性微分方程:。dy/dx 与 y的幂次都是1

  • 解法:
    这种方程的解法是使用配方法,将左侧进行变换,转换成可分离变量的形式。进行的变化可以借鉴乘法的导数法则。


    这是一种解法,也可以参考下一节的常系数微分方程的解法

  • 示例:

    两边乘e2x3得:

常系数微分方程

  • 定义:

    an 只是一些普通的常实数。

  • 解法:
    解法一般显示解齐次(右侧为0),然后再解非齐次的特解,然后再合并。有些像线代中的解法,这里只介绍1次与2次。

  • 一阶齐次解法:

    y = Ae-ax

  • 二阶齐次解法:

    那为什么这种解法适用?

  • 二阶非齐次
    求一个特解,非齐次的解= 一般解 + 特解
    特解归纳如下:

  • 示例

    先求齐次部分:
    t2 -4t + 4 = 0,只有一个解,t=2

    特解形式为:
    代入方程求解的:C=-4 D=-3.

微分方程建模

微分方程以上都是工具,建模部分是核心,它告诉我们,微分方程能如何使用。可惜的是,这部分原书中示例很少,只有一个细菌培养的例子。



这是一个一阶线性微分方程,套用上边解法即可

# 数学 

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