图形变换基础

0. 前言

本周做了一些2D绘制图的工作，其中涉及到了图形的基本变换，这里简单做个总结。

本部分主要涉及矩阵的变换，参考:矩阵基础、线性变换

图形变换的内容主要参考：旋转变换

图形的移动就是坐标的移动：

x^' = x + ΔX

y^' = y +ΔY

移动用2维矩阵没法表达直接表达，增加到3维即可表达：

图形的伸缩是坐标的乘以一个伸缩系数：

x^' = ax

y^' = by

用矩阵表达如下：

旋转比较复杂一点，可以分成绕圆心旋转，以及绕任一点旋转

旋转前：

x = r cosφ

y = r sinφ

旋转后：

x^' = r cos(φ+θ) = r cosφ cosθ - r sinφ sinθ

y^' = r sin(φ+θ) = r sinφ cosθ + r sinθ cosφ

带入后得：

x^' = cosθ x - sinθ y

y^' = sinθ x + cosθ y

矩阵表达如下：

绕任一点旋转是个难点，它可以变成旋转与移动的组合，思路如下：

移动与旋转都是线性的，根据矩阵的线性变化可以写成：

通过引入齐次坐标，可以将图像的移动、伸缩、旋转统一到一个空间中来进行变换。

这样进行变化，就可以想矩阵的线性变化一样，乘以响应的变化矩阵即可。